...
Dynaamisen
...
järjestelmän
...
siirtofunktio
...
Nyt
...
päästään
...
soveltamaan
...
matriisilaskentaa
...
ja
...
Laplace-muunnosta.
...
Tutkikaamme,
...
miten
...
lineaarista
...
mallia
...
voidaan
...
käsitellä.
...
Kuten
...
edellä
...
on
...
jo
...
nähty
...
säätötekniikassa
...
käsitellään
...
yleensä
...
erilaisia
...
järjestelmiä,
...
jotka
...
kuvataan
...
yleisesti
...
lohkokaavioina.
...
Nuolet
...
lohkojen
...
välillä
...
kuvaavat
...
kausaliteettia.
...
Heräte u vaikuttaa systeemiin,
...
jonka
...
lähtö
...
puolestaan
...
on
...
ulostulo.
...
Jotta
...
tietäisimme,
...
miten
...
erilaiset
...
inputit
...
vaikuttavat,
...
on
...
järjestelmän
...
dynamiikka
...
kuvattava
...
matemaattisesti.
...
Tässä
...
osassa
...
käsittelemme
...
lineaarisia
...
vakiokertoimisia
...
järjestelmiä.
...
Viimeisessä
...
luvussa
...
on
...
lyhyt
...
johdatus
...
epälineaarisiin
...
järjestelmiin
...
ja
...
niiden
...
linearisointiin.
...
...
Oletetaan,
...
että
...
järjestelmää
...
ja
...
sen
...
dynamiikkaa
...
kuvaa
...
tavallinen
...
differentiaaliyhtälömalli
...
ý(t)+ay(t)=u(t)
...
.
...
(Säätötekniikassa
...
on
...
yleisesti
...
tapana
...
merkitä
...
aikaderivaattaa
...
pisteellä:
...
)
...
Laplace
...
-muunnetaan
...
järjestelmän
...
dynamiikkayhtälö
...
termeittäin.
...
sY
...
(
...
s
...
)
...
-
...
y
...
(0)
...
+
...
aY
...
(
...
s
...
)
...
=
...
U
...
(
...
s
...
)
...
Tavallisesti
...
systeemi
...
on
...
alussa
...
lepotilassa,
...
jolloin
...
myös
...
alkuarvot
...
ovat
...
nollia,
...
y
...
(0)
...
= 0. Tällöin yhtälö on muotoa
(s+a)Y(s)=U(s).
Järjestelmän siirtofunktioksi (systeemin malliksi) nimitetään ulostulon ja sisäänmenon suhdetta.
G(s)=Y(s)/U(s)=1/(s+a)
...
Jos
...
ajatellaan,
...
miten
...
järjestelmä
...
muuntaa
...
tietyn
...
inputin,
...
niin
...
saamme
...
Y
...
(
...
s
...
)
...
= G(s)U(s).
Siirtofunktio siis kertoo, miten järjestelmä kuvaa tietyn inputin Laplace-tasossa.
...
Palaamme
...
tähän
...
vielä
...
myöhemmin
...
(katso
...
konvoluutiointegraali
...
edellä).
...
Koska
...
tutkimamme
...
mallin
...
nimittäjä
...
on
...
1.
...
kertalukua,
...
sitä
...
kutsutaan
...
1.
...
kertaluvun
...
malliksi.
...
...
Siirtofunktion muodostaminen systemaattisesti
Ensimmäinen tehtävä on kirjoittaa järjestelmää kuvaavat differentiaaliyhtälöt, jotka muodostetaan fysiikan lakien avulla. Tavallisia ovat Newtonin liikeyhtälöt ja erilaiset massataseyhtälöt.
Kun on saatu muodostettua differentiaaliyhtälöt, ne Laplace-muunnetaan olettaen alkuarvot asetetaan nolliksi. Tähän olemassa selvät perusteet: Jos järjestelmä ei ole tasapainotilassa, muuttujat voidaan aina skaalata siten, että alkuarvot ovat nollia.
Tämän jälkeen ratkaistaan haluttu siirtofunktio G(s). Sen ei tarvitse välttämättä olla juuri sisäänmenon ja ulostulon välillä, vaan yhtä hyvin siirtofunktio voidaan laskea häiriöstä ohjaukseen tai ulostuloon.
Usein halutaan tietää, mikä on ulostulo tietyllä sisäänmenolla. Tällöin ratkaistaan haluttu suure s-tasossa ja käänteismuunnetaan lauseke lopulta aikatasoon edellä opituin konstein. 
G(s)=Y(s)/U(s)
...
=>
...
Y(s)=G(s)U(s)