Määritelmä
Boolen algebran muodostaa joukko, jossa on määritelty kaksi laskutoimitusta, ja , laskutoimitusten neutraalialkiot 0 ja 1 (joista käytetään joskus myös merkintöjä ⊥ ja ) ja jossa jokaisella alkiolla on lisäksi komplementti siten, että ne toteuttavat seuraavat ehdot:liitäntälaitvaihdantalaitabsorptiolait osoittelulait
Toisinaan käytetään laskutoimitukselle myös merkintää a + b ja laskutoimitukselle merkintää ab tai a - b. Ne eivät kuitenkaan kaikilta osin noudata reaalilukujenlaskutoimituksia. Edellä esitetyistä Boolen algebran laskusäännöistä vain liitäntä- ja vaihdantalait sekä jälkimmäinen osttelilaki pätevät myös reaaliluvuille.
Yksinkertaisin Boolen algebra käsittää vain yhden alkion. Toisinaan määritelmään kuitenkin lisätään ehto, jonka mukaan 0 ja 1 eivät saa olla sama alkio, mikä sulkee tämän tapauksen pois.
| Wiki Markup |
|---|
\[muokkaa\] Boolen algebra ja lausekalkyyli |
Boolen algebraa voidaan käyttää matemaattisena esitystapana loogiselle lausekalkyylille. Tällöin laskutoimitus vastaa lauseiden konjunktiota (JA, engl. AND), laskutoimitus taas disjunktiota (TAI, engl. OR) ja komplementti negaatiota (EI, engl. NOT). Alkio 0 tarkoittaa epätotta ja 1 totta lausetta. Mikäli perusjoukossa on muita alkioita, ne vastaavat yleensä lauseita, joiden totuusarvoa ei tunneta. Tällöin lauseet a ja b, a tai b sekä ei a ovat a:sta ja b:stä riippuen tosia tai epätosia niin kuin seuraavat ns. totuusarvotaulukot osoittavat:
JA: Jos molemmat ehdot on tosia (eli arvo on 1), vastaus on tosi (1)JA01000101TAI: Jos edes toinen ehdoista on tosi (eli arvo on 1), vastaus on tosi (1)TAI01001111EI kääntää totuusarvon toiseksi: ykkösen nollaksi ja nollan ykköseksi.
01EI10
X = 0X = 1X = a0 AND X0001 AND X01a0 OR X01a1 OR X111Voidaan osoittaa, että nämä loogiset operaatiot noudattavat kaikkia ylempänä esitettyjä Boolen algebran sääntöjä.
Disjunktio (TAI) merkitsee tässä ns. inklusiivista disjunktiota ("ja/tai"), joka on tosi, kun ainakin toinen lauseista a ja b on tosi. Tämän vuoksi sovellettaessa Boolen algebraa lausekalkyyliin ei operaatiolle a b pidä käyttää merkintää a + b, koska sillä tarkoitetaan toisinaan ns. ekslusiivista disjunktiota, joka on tosi vain silloin, kun vain toinen sen yhdistämistä lauseista on tosi.
Esimerkiksi seuraavassa taulukossa analysoidaan, miten A OR B voidaan esittää toisessa muodossa:
A OR B = NOT( ( NOT(A) ) AND ( NOT(B) ) )
( AORB ) =NOT( (NOT(A) )AND (NOT(B) ) )A=0,B=0000010110A=1,B=0110101010A=0,B=1011110001A=1,B=1111101001
| Wiki Markup |
|---|
\[muokkaa\] Boolen algebra ja joukko-oppi |
Minkä tahansa perusjoukon osajoukoille voidaan määritellä joukko-opilliset operaatiot unioni , leikkaus ja komplementti Ac. Nämä noudattavat myös Boolen algebran sääntöjä, kun unioni vastaa laskutoimitusta , leikkaus laskutoimitusta ja komplementti operaatiota . Ykkösalkiona on tällöin perusjoukko, nolla-alkiona tyhjä joukko.