Yleistä
Dynaamisen järjestelmän siirtofunktio
Dynaamisen järjestelmän siirtofunktio
Nyt päästään soveltamaan matriisilaskentaa ja Laplace-muunnosta. Tutkikaamme, miten lineaarista mallia voidaan käsitellä. Kuten edellä on jo nähty säätötekniikassa käsitellään yleensä erilaisia järjestelmiä, jotka kuvataan yleisesti lohkokaavioina. Nuolet lohkojen välillä kuvaavat kausaliteettia.
Heräte u vaikuttaa systeemiin, jonka lähtö puolestaan on ulostulo. Jotta tietäisimme, miten erilaiset inputit vaikuttavat, on järjestelmän dynamiikka kuvattava matemaattisesti. Tässä osassa käsittelemme lineaarisia vakiokertoimisia järjestelmiä. Viimeisessä luvussa on lyhyt johdatus epälineaarisiin järjestelmiin ja niiden linearisointiin.
Oletetaan, että järjestelmää ja sen dynamiikkaa kuvaa tavallinen differentiaaliyhtälömalli
ý(t)+ay(t)=u(t)
.
(Säätötekniikassa on yleisesti tapana merkitä aikaderivaattaa pisteellä: )
Laplace -muunnetaan järjestelmän dynamiikkayhtälö termeittäin.
sY(s)-y(0)+aY(s) =U(s)
Tavallisesti systeemi on alussa lepotilassa, jolloin myös alkuarvot ovat nollia, y(0) = 0. Tällöin yhtälö on muotoa
(s+a)Y(s)=U(s).
Järjestelmän siirtofunktioksi (systeemin malliksi) nimitetään ulostulon ja sisäänmenon suhdetta.
G(s)=Y(s)/U(s)=1/(s+a)
Jos ajatellaan, miten järjestelmä muuntaa tietyn inputin, niin saamme
Y(s) = G(s)U(s).
Siirtofunktio siis kertoo, miten järjestelmä kuvaa tietyn inputin Laplace-tasossa. Palaamme tähän vielä myöhemmin (katso konvoluutiointegraali edellä).
Koska tutkimamme mallin nimittäjä on 1. kertalukua, sitä kutsutaan 1. kertaluvun malliksi.
Siirtofunktion muodostaminen systemaattisesti
Ensimmäinen tehtävä on kirjoittaa järjestelmää kuvaavat differentiaaliyhtälöt, jotka muodostetaan fysiikan lakien avulla. Tavallisia ovat Newtonin liikeyhtälöt ja erilaiset massataseyhtälöt.
Kun on saatu muodostettua differentiaaliyhtälöt, ne Laplace-muunnetaan olettaen alkuarvot asetetaan nolliksi. Tähän olemassa selvät perusteet: Jos järjestelmä ei ole tasapainotilassa, muuttujat voidaan aina skaalata siten, että alkuarvot ovat nollia.
Tämän jälkeen ratkaistaan haluttu siirtofunktio G(s). Sen ei tarvitse välttämättä olla juuri sisäänmenon ja ulostulon välillä, vaan yhtä hyvin siirtofunktio voidaan laskea häiriöstä ohjaukseen tai ulostuloon.
Usein halutaan tietää, mikä on ulostulo tietyllä sisäänmenolla. Tällöin ratkaistaan haluttu suure s-tasossa ja käänteismuunnetaan lauseke lopulta aikatasoon edellä opituin konstein.
G(s)=Y(s)/U(s) => Y(s)=G(s)U(s)