Yleistä
Dynaamisen järjestelmän siirtofunktio
Dynaamisen järjestelmän siirtofunktio
Siirtofunktion toteutuksessa käytetään matriisilaskentaa ja Laplace-muunnosta. Tutkitaan aluksi, miten lineaarista mallia voidaan käsitellä. Säätötekniikassa käsitellään erilaisia järjestelmiä, jotka kuvataan lohkokaavioina. Nuolet lohkojen välillä kuvaavat kausaliteettia eli toiminnan järjestystä.
Heräte u vaikuttaa systeemiin, jonka lähtö on ulostulo. Jotta tiedämme, miten erilaiset inputit vaikuttavat, järjestelmän dynamiikka kuvataan matemaattisesti. Käsittelemme lineaarisia vakiokertoimisia järjestelmiä.
Oletetaan, että järjestelmää ja sen dynamiikkaa kuvaa tavallinen differentiaaliyhtälömalli
ý(t)+ay(t)=u(t)
Laplace-muunnetaan järjestelmän dynamiikkayhtälö termeittäin.
sY(s)-y(0)+aY(s) =U(s)
Tavallisesti systeemi on alussa lepotilassa, jolloin myös alkuarvot ovat nollia, y(0) = 0. Tällöin yhtälö on muotoa
(s+a)Y(s)=U(s).
Järjestelmän siirtofunktio on (systeemin malli) ulostulon ja sisäänmenon suhde.
G(s)=Y(s)/U(s)=1/(s+a)
Järjestelmä muuntaa inputin lähdöksi
Y(s) = G(s)U(s).
Siirtofunktio siis kertoo, miten järjestelmä kuvaa tietyn inputin Laplace-tasossa.
Koska tutkimamme mallin nimittäjä on 1. kertalukua, sitä kutsutaan 1. kertaluvun malliksi.
Siirtofunktion muodostaminen systemaattisesti
Ensimmäinen tehtävä on kirjoittaa järjestelmää kuvaavat differentiaaliyhtälöt, jotka muodostetaan fysiikan lakien avulla. Tavallisia ovat Newtonin liikeyhtälöt ja erilaiset massataseyhtälöt.
Kun on saatu muodostettua differentiaaliyhtälöt, ne Laplace-muunnetaan olettaen alkuarvot asetetaan nolliksi. Tähän olemassa selvät perusteet: Jos järjestelmä ei ole tasapainotilassa, muuttujat voidaan aina skaalata siten, että alkuarvot ovat nollia.
Tämän jälkeen ratkaistaan haluttu siirtofunktio G(s). Sen ei tarvitse välttämättä olla juuri sisäänmenon ja ulostulon välillä, vaan yhtä hyvin siirtofunktio voidaan laskea häiriöstä ohjaukseen tai ulostuloon.
Usein halutaan tietää, mikä on ulostulo tietyllä sisäänmenolla. Tällöin ratkaistaan haluttu suure s-tasossa ja käänteismuunnetaan lauseke lopulta aikatasoon.
G(s)=Y(s)/U(s) => Y(s)=G(s)U(s)