PID-säätimen suunnittelu DC-moottorin nopeussäätimeen

Dynaamiset yhtälöt ja avoimen silmukan siirtofunktiot DC-moottorille ovat:

Image Removed
Image Removed
Image RemovedJärjestelmän tilakaavio nättää Järjestelmän lohkokaavio näyttää seuraavalta:

Alkuperäiset Alkuperäisen ongelman yhtälöt ja derivoinnit löytyvät aikaisemmasta edellisestä esimerkistä DC-moottorin malli. Käy malli läpi, jos yhtälöt ovat hepreaa.

Jos laitetaan  laitetaan askelvasteen vaatimukseksi  1rad/s askelsyötteeksi, perusteet ovat:

• Asettumisaika alle 2 sekunttiasekuntia
• Ylitys on alle 5%5 %
• Paikallaan ollessa virhe on alle 1%1 % (vakaa tila)

DC-moottorin mallissa asettumis aika on noin 3s. PID-säätimellä pyritään pääsemään tässä harjoituksessa näiden arvojen sisälle.

Seuraavaksi suunnitellaan PID-säädin ja lisätään se järjestelmään. Luo ensin uusi m-tiedosto ja syötä seuraavat komennot (katso DC-moottorin mallia käskyjen yksityiskohdista), josta löytyy tiedot miten kyseinen malli on tehty)

function Moottori()
J=0.01;
b=0.1;
K=0.01;
R=1;
L=0.5;
jaettava=K;
jakaja=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)];
motor=tf(jakaja,jaettava);

Siirtofunktio PID säätimelle on:

Image Added

Suhteellinen säätö (proportional control)

Katsotaan ensin suhteellisen säädön vaikutusta. Käytetään aluksi vahvistuksena (gain) arvoa 100. Suljetun kierron siirtofunktion määrittämiseen käytämme palauta komentoa (feedback). Lisää seuraava koodi m-tiedostosi loppuun:

Kp=100;
saadin=Kp;
sys_cl=feedback(saadin*motor,1);

Jotta näytölle saadaan aikaiseksi kuvaaja tarvitsee lisätä seuraavat komennot. Lisää komennot m-tiedoston loppuun ja suorita ohjelma.Tämän jälkeen voidaan tutkia askelvastetta.

t=0:0.01:5;
step(sys_cl,t)
title('Askelvaste suhteellisella säädöllä')

Sinun pitäisi saada seuraavanlainen kuvaaja:
Image Added

PID-säädin

Yläpuolella olevasta kuvaajasta näemme, että sekä vakaan tilan että ylityksen virhe on liian suuri. Aiemmista esimerkeistä tiedämme että PID-säätimen integraali kertoimen (Ki) lisääminen poistaa vakaan tilan virheen ja derivointi kerroin (Kd) alentaa ylitystä. Testataan PID-säädintä pienillä Ki ja Kd arvoilla. Muuta m-tiedostoa seuraavanlaiseksi:

J=0.01;
b=0.1;
K=0.01;
R=1;
L=0.5;
num=K;
den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)];
motor=tf(num,den);

Siirtofunktioo PID säätimelle on:

...

Kp=100;
Ki=1;
Kd=1;
saadin=tf([Kd Kp Ki],[1 0]);
sys_cl=feedback(saadin*motor,1);
step(sys_cl)
title('PID_säädin pienellä Ki ja Kd arvolla')

Suorittamalla muutetun m-tiedoston saat seuraavanlaisen kuvaajan
Image Added

Vahvistuksen säätäminen (gain)

Nyt asettumisaika on liian pitkä. Ki termiä kasvattamalla voimme alentaa asettumisaikaa. Muuta m-tiedostossa Ki arvoon 200. Suorita jälleen ohjelma ja kuvaajan pitäisi näyttää seuraavalta:
Image Added

Nyt näemme että reagointi on paljon nopeampaa kuin aikaisemmin. Suuri Ki:n arvo on kuitenkin kasvattanut ylitystä. Seuraavaksi suurennetaan Kd arvoa jolla voidaan pienentää ylitystä. Muuta m-tiedostossa Kd arvo 10. Suorita ohjelma ja kuvaajan pitäisi näyttää seuraavanlaiselta:
Image Added

Tämän jälkeen tiedämme että jos käytämme PID-säätimelle arvoja

Kp=100;
Ki=200;
Kd=10;

Tulevat kaikki vaatimukset täytetyksi.

Sama Scilabilla

function moottoriStepJaBode ()
s=poly(0,'s'); //määrää s  polynomin muuttujaksi
U=12; I=10;n=1500;T=2 //moottorin alkuarvot
J=0.01;R=1;L=0.5;b=0.1
Kt=T/I
Ke= U/(1500/60*2*3.14)
//moottorin siirtofunktio
//Ω / U =K t / (JL s2 + (JR+Lb) s+(b*R+K t K e));
SiirtofunkNopeus=Kt/(J*L*s^2+ (J*R+L*b)*s+(b*R+Kt*Ke))
//linearisen  systeemin maarittely
systeemiLin=syslin('c',SiirtofunkNopeus);//muodostetaan systeemi aikajatkuvana  ('c') lineaarisena mallina.
t=[0:0.05:5]; //aika vektori, jota käytetään simulaatiossa alku:resoluutio:loppuaika
y1=csim('step',t,systeemiLin); // Simuloidaan järjestelmää askefunktiolla
scf(1);clf; //avataan ja puhditetaan kuva-alue
//moottorin askelvaste, ota kommentit pois jos haluat askelfunktion pelkasta moottorista
//plot(t,y1)

//moottorin bodediagrammi
//bode(sys, 0.01, 100);
//HUOM! takaisinkykentahaaran asteluvun tulee olla yhtäsuuri tai suurempi kuin
takaisinkytkentaLin=syslin('c',[(2+0*s)/(1+0*s)])

//saadin
Kd=0.0001
Kp=10
Ki=0.001
saadin= (Kd*s^2+Kp*s+Ki)/s
saadinLin=syslin('c',saadin)

//muodostetaan takaisinkytkenta operaattorilla /.
takaisinkytkettyJarjestelma=saadinLin*systeemiLin/.takaisinkytkentaLin
bode(takaisinkytkettyJarjestelma, 0.01, 100);

endfunction