Laplace-muunnos (Laajempi selitys pdf:nä)
Hieman yksinkertaistaen voisi sanoa, että Laplace-muunnos muuttaa derivaatan kertolaskuksi ja integroinnin jakolaskuksi. Tältä kannalta katsottuna Laplace-muunnoksen hyödyllisyyden ymmärtää; onhan kerto- ja jakolaskut huomattavasti helpompia laskea kuin derivoinnit ja integroinnit. Myös alkuarvojen käsittely muunnoksen avulla on helpompaa, koska differentiaaliyhtälön yleistä ratkaisua ei tarvitse missään vaiheessa laskea.
...
Laplace-tasosta päästään takaisin aika-tasoon käänteismunnoksella:
Käänteismuunnoksessa integrointi suoritetaan kompleksitasossa ja vakiob valitaan siten, että muunnettavan funktion singulariteetit jäävät integroimispolun oikealle puolelle.
...
Seuraavassa taulukossa on lueteltu Laplace-muunnoksen ominaisuuksia. Taulukossa muunnettavaa ajan funktiota on merkitty pienellä kirjaimella ja vastaavaa Laplace-muunnettua funktiota isolla kirjaimella.
...
Ominaisuus
...
Muunnettava funktio
...
Laplace-muunnos
...
Lineaarisuus
...
...
...
Vaimennus
...
...
...
Viivästys
...
...
...
Skaalaus
...
...
...
Derivaatta
...
...
...
n:s derivaatta
...
...
...
Integraali
...
...
...
Konvoluutio
...
Alku- ja loppuarvoteoreemat ovat myös tärkeitä esimerkiksi laskettaessa vasteen loppuarvoa. Jos tarvittavat raja-arvot ovat olemassa, pätee funktiolle ja sen Laplace-muunnokselle: