Laitteet ja yhtälöt
DC-moottori on yleinen toimilaite järjestelmissä. Se tuottaa pyörivää liikkettä ja yhdistettynä esim. hammastankoon se voi tuottaa myös lineaarista liikettä. Hyvää tietoa servomoottoreista . Sähkökaavio ja vapaakappalekuvio on esitetty seuraavassa kuvassa:
Tässä esimerkissä oletamme seuraavat arvot fysikaalisille parametreille:
roottorin hitausmomentti (J) = 0.01 kg.m{^}2/s^2
mekaanisen systeemin vaimennuskerroin (b) = 0.1 Nms
moottorin vääntömomenttivakio K t kuvaa vääntömomentin ja virran välistä suhdetta olkoon tässä 0.01 Nm/A
moottorin pyörimisnopeusvakio K e kuvaa pyörimisnopeuden ja jännitteen välistä suhdetta = 0.01 Vs,
K e =e/Ω, [V/(1/s)]
huom. V=W/A ja W=Nm/s , jolloin Vs = Ws/A = Nms/s/A = Nm/A
Moottorin ominaisuudet:
resistiivinen vastus (R) = 1 ohm
induktanssi (L) = 0.5 H
tulo (U): lähdejännite
lähtö θ = akselin asema
oletetaan roottori ja akseli jäykäksi
Moottorin vääntömomentti T on riippuvainen magneettisydämen virrasta i kerrottuna vakioilla K t. Moottorin sähkömotorinen voima emf, e muuttu pyörimisnopeudeksi seuraavien yhtälöiden mukaisesti:
T=K t i
e=K e Ω , Ω= θ:n derivaatta
Yllä olevasta kuvasta saadaan seuraavat kaavat Newtonin ja Kirchhoffin lakien mukaan:
Virran ja vääntömomentin välille saadaan yhteys
J d2θ/dt+b dθ/dt = K t i,
eli hitausmomentti * kulmakiihtyvyys + viskoosikitkavakio * kulmanopeus = tarvittava momentti
Pyörimisnopeuden ja jännitteen välille saadaan yhteys
L di/dt + Ri = U- K e dθ/dt
Siirtofunktio
Käyttämällä Laplace-muunnosta virran ja jännitteen yhtälöt saadaan seuraavaan muotoon.
J s2θ(s) + b s θ(s) = K tI(s)
s(Js+b)θ(s)=K tI(s)
-----
L s I(s)+ R I(s) =U- K e s θ(s)
(Ls+R)I(s)=U - K e s θ(s)
Ja aseman sekä jännitteen väliseksi suhteeksi s-tasossa saadaan
θ / U = K t / (s((Js+b)(Ls+R)+ (K t K e)))
Ja kulmanopeus, kun koko yhtälö kerrotaan s:llä eli derivoidaan kerran
Ω_/ U =_ K t / ((Js+b)(Ls+R)+ (K t K e))
Ω / U =K t / (JL s2 + (JR+Lb) s+(b*R+K t K e));
Ratkaisu Scilabilla
s=poly(0,'s'); //määrää s polynomin muuttujaksi
U=12; I=10;n=1500;T=2 //moottorin alkuarvot
J=0.01;R=1;L=0.5;b=0.1
Kt=T/I
Ke= U/(1500/60*2*3.14)
//Ω / U =K t / (JL s2 + (JR+Lb) s+(b*R+K t K e));
SiirtofunkNopeus=Kt/(J*L*s^2+ (J*R+L*b)*s+(b*R+Kt*Ke))
sys=syslin('c',SiirtofunkNopeus);//muodostetaan systeemi aikajatkuvana ('c') lineaarisena mallina.
t=[0:0.05:5]; //aika vektori, jota käytetään simulaatiossa alku:resoluutio:loppuaika
y1=csim('step',t,sys); // Simuloidaan järjestelmää askelfunktiolla
scf(1);clf; //avataan ja puhditetaan kuva-alue
plot(t,y1)
Kuvaaja