Määritelmä
Boolen algebran muodostaa joukko, jossa on määritelty kaksi laskutoimitusta, ja , laskutoimitusten neutraalialkiot 0 ja 1 (joista käytetään joskus myös merkintöjä ⊥ ja ) ja jossa jokaisella alkiolla on lisäksi komplementti siten, että ne toteuttavat seuraavat ehdot:liitäntälaitvaihdantalaitabsorptiolait osoittelulait
Toisinaan käytetään laskutoimitukselle myös merkintää a + b ja laskutoimitukselle merkintää ab tai a - b. Ne eivät kuitenkaan kaikilta osin noudata reaalilukujenlaskutoimituksia. Edellä esitetyistä Boolen algebran laskusäännöistä vain liitäntä- ja vaihdantalait sekä jälkimmäinen osttelilaki pätevät myös reaaliluvuille.
Yksinkertaisin Boolen algebra käsittää vain yhden alkion. Toisinaan määritelmään kuitenkin lisätään ehto, jonka mukaan 0 ja 1 eivät saa olla sama alkio, mikä sulkee tämän tapauksen pois.
[muokkaa] Boolen algebra ja lausekalkyyli
Boolen algebraa voidaan käyttää matemaattisena esitystapana loogiselle lausekalkyylille. Tällöin laskutoimitus vastaa lauseiden konjunktiota (JA, engl. AND), laskutoimitus taas disjunktiota (TAI, engl. OR) ja komplementti negaatiota (EI, engl. NOT). Alkio 0 tarkoittaa epätotta ja 1 totta lausetta. Mikäli perusjoukossa on muita alkioita, ne vastaavat yleensä lauseita, joiden totuusarvoa ei tunneta. Tällöin lauseet a ja b, a tai b sekä ei a ovat a:sta ja b:stä riippuen tosia tai epätosia niin kuin seuraavat ns. totuusarvotaulukot osoittavat:
JA: Jos molemmat ehdot on tosia (eli arvo on 1), vastaus on tosi (1)JA01000101TAI: Jos edes toinen ehdoista on tosi (eli arvo on 1), vastaus on tosi (1)TAI01001111EI kääntää totuusarvon toiseksi: ykkösen nollaksi ja nollan ykköseksi.
01EI10
X = 0X = 1X = a0 AND X0001 AND X01a0 OR X01a1 OR X111Voidaan osoittaa, että nämä loogiset operaatiot noudattavat kaikkia ylempänä esitettyjä Boolen algebran sääntöjä.
Disjunktio (TAI) merkitsee tässä ns. inklusiivista disjunktiota ("ja/tai"), joka on tosi, kun ainakin toinen lauseista a ja b on tosi. Tämän vuoksi sovellettaessa Boolen algebraa lausekalkyyliin ei operaatiolle a b pidä käyttää merkintää a + b, koska sillä tarkoitetaan toisinaan ns. ekslusiivista disjunktiota, joka on tosi vain silloin, kun vain toinen sen yhdistämistä lauseista on tosi.
Esimerkiksi seuraavassa taulukossa analysoidaan, miten A OR B voidaan esittää toisessa muodossa:
A OR B = NOT( ( NOT(A) ) AND ( NOT(B) ) )
( AORB ) =NOT( (NOT(A) )AND (NOT(B) ) )A=0,B=0000010110A=1,B=0110101010A=0,B=1011110001A=1,B=1111101001
[muokkaa] Boolen algebra ja joukko-oppi
Minkä tahansa perusjoukon osajoukoille voidaan määritellä joukko-opilliset operaatiot unioni , leikkaus ja komplementti Ac. Nämä noudattavat myös Boolen algebran sääntöjä, kun unioni vastaa laskutoimitusta , leikkaus laskutoimitusta ja komplementti operaatiota . Ykkösalkiona on tällöin perusjoukko, nolla-alkiona tyhjä joukko.