Laitteet ja yhtälöt

DC-moottori on yleinen toimilaite järjestelmissä. Se tuottaa pyörivää liikkettä ja yhdistettynä esim hammastankoon se voi tuottaa myös lineaarista liikettä. Sähkökaavio ja vapaakappalekuvio on esitetty seuraavassa kuvassa:

 
Tässä esimerkissä oletamme seuraavat arvot fysikaalisille parametreille:

roottorin hitausmomentti (J) = 0.01 kg.m{^}2/s^2
mekaanisen systeemin vaimennuskerroin (b) = 0.1 Nms
moottorin vääntömomenttivakio K _t kuvaa vääntömomentin ja virran välistä suhdetta  olkoon tässä 0.01 Nm/A

moottorin pyörimisnopeusvakio K _e  kuvaa pyörimisnopeuden ja jännitteen välistä suhdetta = 0.01 Vs,

K _e =e/θ, [V/(1/s)]

huom. V=W/A ja W=Nm/s , jolloin Vs = Ws/A = Nms/s/A = Nm/A

Moottorin ominaisuudet:

resistiivinen vastus (R) = 1 ohm
induktanssi (L) = 0.5 H
tulo (U): lähdejännite
lähtö θ = akselin asema
oletetaan roottori ja akseli  jäykäksi

Moottorin vääntömomentti T on riippuvainen magneettisydämen virrasta i kerrottuna vakioilla K _t. Moottorin sähkömotorinen voima emf, e  muuttu pyörimisnopeudeksi seuraavien yhtälöiden mukaisesti:

T=K _t i
e=K _e θ

Yllä olevasta kuvasta saadaan seuraavat kaavat Newtonin ja Kirchhoffin lakien mukaan:

Virran ja vääntömomentin välille saadaan yhteys

 J d²θ/dt+b dθ/dt = K _t i,

eli hitausmomentti * kulmakiihtyvyys + viskoosikitkavakio * kulmanopeus =  tarvittava momentti

Pyörimisnopeuden ja jännitteen välille saadaan yhteys

L di/dt + Ri = U- K _e dθ/dt

Siirtofunktio

Käyttämällä Laplace-muunnosta virran ja jännitteen yhtälöt saadaan seuraavaan muotoon.

J s²θ(s) + b s θ(s) = K _tI(s)

s(Js+b)θ(s)=K _tI(s)

-----

L s I(s)+ R I(s) =U- K _e s θ(s)

(Ls+R)I(s)=U - K _e s θ(s)

Ja aseman sekä jännitteen väliseksi suhteeksi s-tasossa saadaan

θ / U = K _t / (s((Js+b)(Ls+R)+ (K _t K _e)))

Ja kulmanopeus

Ω_/ U =_ K _t / ((Js+b)(Ls+R)+ (K _t K _e))

Ω / U =K _t / (JL s² + (JR+Lb) s+(b*R+K _t K _e));