PID-säätimen suunnittelu DC-moottorin nopeussäätimeen
Dynaamiset yhtälöt ja avoimen silmukan siirtofunktiot DC-moottorille
Järjestelmän lohkokaavio näyttää seuraavalta:
Alkuperäisen ongelman yhtälöt ja derivoinnit löytyvät edellisestä esimerkistä DC-moottorin malli. Käy malli läpi, jos yhtälöt ovat hepreaa.
Jos laitetaan askelvasteen vaatimukseksi 1rad/s, perusteet ovat:
- Asettumisaika alle 2 sekuntia
- Ylitys on alle 5 %
- Paikallaan ollessa virhe on alle 1 % (vakaa tila)
DC-moottorin mallissa asettumis aika on noin 3s. PID-säätimellä pyritään pääsemään tässä harjoituksessa näiden arvojen sisälle.
Seuraavaksi suunnitellaan PID-säädin ja lisätään järjestelmään. Luo ensin uusi m-tiedosto ja syötä seuraavat komennot (katso DC-moottorin mallia, josta löytyy tiedot miten kyseinen malli on tehty)
function Moottori() J=0.01; b=0.1; K=0.01; R=1; L=0.5; jaettava=K; jakaja=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)]; motor=tf(jakaja,jaettava);
Siirtofunktio PID säätimelle on:
Suhteellinen säätö (proportional control)
Katsotaan ensin suhteellisen säädön vaikutusta. Käytetään aluksi vahvistuksena (gain) arvoa 100. Suljetun kierron siirtofunktion määrittämiseen käytämme palauta komentoa (feedback). Lisää seuraava koodi m-tiedostosi loppuun:
Kp=100; saadin=Kp; sys_cl=feedback(saadin*motor,1);
Jotta näytölle saadaan aikaiseksi kuvaaja tarvitsee lisätä seuraavat komennot. Lisää komennot m-tiedoston loppuun ja suorita ohjelma.Tämän jälkeen voidaan tutkia askelvastetta.
t=0:0.01:5; step(sys_cl,t) title('Askelvaste suhteellisella säädöllä')
Sinun pitäisi saada seuraavanlainen kuvaaja:
PID-säädin
Yläpuolella olevasta kuvaajasta näemme, että sekä vakaan tilan että ylityksen virhe on liian suuri. Aiemmista esimerkeistä tiedämme että PID-säätimen integraali kertoimen (Ki) lisääminen poistaa vakaan tilan virheen ja derivointi kerroin (Kd) alentaa ylitystä. Testataan PID-säädintä pienillä Ki ja Kd arvoilla. Muuta m-tiedostoa seuraavanlaiseksi:
J=0.01; b=0.1; K=0.01; R=1; L=0.5; num=K; den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)]; motor=tf(num,den); Kp=100; Ki=1; Kd=1; saadin=tf([Kd Kp Ki],[1 0]); sys_cl=feedback(saadin*motor,1); step(sys_cl) title('PID_säädin pienellä Ki ja Kd arvolla')
Suorittamalla muutetun m-tiedoston saat seuraavanlaisen kuvaajan
Vahvistuksen säätäminen (gain)
Nyt asettumisaika on liian pitkä. Ki termiä kasvattamalla voimme alentaa asettumisaikaa. Muuta m-tiedostossa Ki arvoon 200. Suorita jälleen ohjelma ja kuvaajan pitäisi näyttää seuraavalta:
Nyt näemme että reagointi on paljon nopeampaa kuin aikaisemmin. Suuri Ki:n arvo on kuitenkin kasvattanut ylitystä. Seuraavaksi suurennetaan Kd arvoa jolla voidaan pienentää ylitystä. Muuta m-tiedostossa Kd arvo 10. Suorita ohjelma ja kuvaajan pitäisi näyttää seuraavanlaiselta:
Tämän jälkeen tiedämme että jos käytämme PID-säätimelle arvoja
Kp=100; Ki=200; Kd=10;
Tulevat kaikki vaatimukset täytetyksi.
Sama Scilabilla
//function moottoriStepJaBode () s=poly(0,'s'); //määrää s polynomin muuttujaksi U=12; I=10;n=1500;T=2 //moottorin alkuarvot J=0.01;R=1;L=0.5;b=0.1 Kt=T/I Ke= U/(1500/60*2*3.14) //moottorin siirtofunktio //Ω / U =K t / (JL s2 + (JR+Lb) s+(b*R+K t K e)); SiirtofunkNopeus=Kt/(J*L*s^2+ (J*R+L*b)*s+(b*R+Kt*Ke)) //linearisen systeemin maarittely systeemiLin=syslin('c',SiirtofunkNopeus);//muodostetaan systeemi aikajatkuvana ('c') lineaarisena mallina. t=[0:0.05:5]; //aika vektori, jota käytetään simulaatiossa alku:resoluutio:loppuaika y1=csim('step',t,systeemiLin); // Simuloidaan järjestelmää askefunktiolla scf(1);clf; //avataan ja puhditetaan kuva-alue //moottorin askelvaste //plot(t,y1) //moottorin bodediagrammi //bode(sys, 0.01, 100); //HUOM! takaisinkykentahaaran asteluvun tulee olla yhtäsuuri tai suurempi kuin takaisinkytkentaLin=syslin('c',[(2+0*s)/(1+0*s)]) //saadin Kd=0.0001 Kp=10 Ki=0.001 saadin= (Kd*s^2+Kp*s+Ki)/s saadinLin=syslin('c',saadin) //muodostetaan takaisinkytkenta operaattorilla /. takaisinkytkettyJarjestelma=saadinLin*systeemiLin/.takaisinkytkentaLin bode(takaisinkytkettyJarjestelma, 0.01, 100); //endfunction